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Cristalli e poliedri

Forse la connessione più ovvia tra poliedri e chimica pratica o cristallografia consiste nel fatto che i cristalli normalmente crescono come poliedri convessi.

Le ‘forme’ dei cristalli sono soggette a certe restrizioni derivanti dal fatto che è permesso solo un numero limitato di tipi di simmetria assiale.

I primi vicini di un atomo, in una molecola, ione complesso o cristallo, definiscono un gruppo di coordinazione poliedrico, il cui numero di vertici rappresenta il numero di coordinazione (c.n.). dell’atomo.

C’è da aspettarsi che i poliedri di coordinazione con facce triangolari siano i più diffusi perché rappresentano le situazioni più compatte.

Il tetraedro e l’ottaedro sono i più importanti poliedri di coordinazione perché i loro vertici rappresentano le disposizioni più simmetriche di 4 o 6 punti attorno a un punto centrale.

Quando un cristallo viene descritto in termini di poliedri di coordinazione esso diventa un sistema di poliedri uniti assieme per scambio di vertici, lati o (meno di frequente) facce.

Una possibile alternativa è quella di descrivere la struttura in termini dei domini degli atomi essendo il dominio un poliedro delimitato dai piani perpendicolari ai legami, posti a metà di ogni legame dell’atomo con tutti i vicini. Ogni atomo vicino per il quale il piano forma una faccia del poliedro è contato come appartenente alla sfera di coordinazione dell’atomo centrale.

Ogni atomo della struttura è quindi rappresentato da un dominio poliedrico, il cui numero di facce è il numero di coordinazione dell’atomo, e l’intera struttura è un arrangiamento space-filling di tali poliedri Solidi regolari e semi-regolari.

Per introdurre questo approccio basato sui poliedri di coordinazione conviene fare una breve premessa sulla geometria dei poliedri.

I Greci avevano una considerevole conoscenza dei solidi, ma solo durante gli ultimi 200-250 anni si è condotto uno studio sistematico delle loro proprietà, facendo seguito alla pubblicazione avvenuta nel 1758 degli "Elementa doctrinae solidorum" di Eulero. Ricordiamo la relazione di Eulero tra il numero di vertici, di lati (N₁), e di facce  (N₂) di un semplice poliedro convesso:

N₀ + N₂  = N₁ + 2

Possiamo distinguire i poliedri regolari Platonici, quelli cioè le cui facce sono tutte poligoni regolari uguali in base al numero di lati (p) che convergono in ogni vertice, come poliedri 3-connessi, 4-connessi etc.

Vi sono solo cinque possibili solidi Platonici: tetraedro (p=3), cubo (p=3), pentagono-dodecaedro (p=3), ottaedro (p=4) e icosaedro (p=5). Più completo è il simbolo (n,p) o (n^p), per indicare un poliedro con p facce di n lati che si incontrano in ogni vertice.

Vi sono relazioni di reciprocità tra coppie di questi poliedri, nel senso che i due presentano uno scambio dei valori n e p.

Il cubo è il reciproco dell’ottaedro, il dodecaedro dell’icosaedro e il tetraedro di sé stesso.

Tutti i solidi regolari si ritrovano nella chimica strutturale, ma certo di gran lunga più importanti sono il tetraedro e l’ottaedro. Il cubo è il poliedro di coordinazione in specie come CsCl (per entrambi gli ioni) e CaF₂ (per gli ioni Ca²⁺). Il pentagono-dodecaedro ha 20 vertici e quindi non si presta come poliedro di coordinazione, ma interviene in altri contesti (combinazioni di poliedri space-filling). L’icosaedro è presente nelle alte coordinazioni, e.g. Ce(NO₃)₆^3-, nei carbonili di Fe₃(CO)₁₂ e Co₄(CO)₁₂, nelle gabbie B₁₂ etc.

I solidi regolari (Platonici)        

	n, p	Vertici (N0)	Lati (N1)	Facce (N2)	Angoli diedri
Tetraedro	3,3	4	6	4	70° 31'
Cubo	3,4	6	12	8	109° 28'
Ottaedro	4,3	8	12	6	90°
Dodecaedro	5,3	20	30	12	116° 34'
Icosaedro	3,5	12	30	20	138° 12'

         Simbolo  Nome                              facce vertici  lati

1        3,6²       Tetraedro troncato               8       12      18

2        3,8²       Cubo troncato                    14       24      36

3        4,6²       Ottaedro troncato               14       24      36

4        3²,4²      Cubottaedro                       14       12      24

5        4,6,8      Cubottaedro troncato         26       48      72

6        3,4³       Rombicubottaedro             26       24      48

7        3⁴,4       Cubo 'rincagnato'               38       24      60

8        3,10²      Dodecaedro troncato          32       60      90

9        3²,5²      Icosidodecaedro                32       30      60

10      5,6²       Icosaedro troncato             32       60      90

11      4,6,10    Icosidodecaedro troncato   62     120    180

12      3,4,5,4   Rombicosidodecaedro       62       60    120

13      3⁴,5       Dodecaedro 'rincagnato'     92       60    150

14      n,4²       Prismi regolari                   n + 2    2n     3n

15      n,3³       Antiprisma regolare          2n + 2    2n     4n

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Mentre i solidi regolari hanno tutti i vertici equivalenti e tutte le facce uguali, se manteniamo la prima condizione ma non la seconda ritroviamo un set di solidi semi-regolari (Archimediani), che contengono più di un tipo di facce poligonali regolari (Tabella).

I simboli mostrano i tipi di facce poligonali che si incontrano a ogni vertice.

Questi solidi comprendono tre gruppi:

1. i 13 poliedri Archimediani (ottenuti per troncamento), di cui solo i primi sono importanti in cristallochimica;
2. i prismi regolari;
3. gli antiprismi regolari.  

Testo adattato dal sito: http://www.chimdocet.it/index.htm