Scienze e Viaggi

…..Lo stato della matematica nella cultura contemporanea è uno dei sintomi più acuti della dissociazione di questa ultima.

L’emergere di una matematica « umanistica », tale da non essere più percepita come separata dalle scienze dell’uomo e dalle « discipline umanistiche » potrebbe ben essere il segno di un cambiamento in vista. In quest’opera io cerco appunto di mostrare come l’elaboratore potrebbe condurre i bambini a stabilire con la matematica una relazione più « umanistica » e al tempo stesso più umana. Per raggiungere questo scopo devo andare oltre una discussione sulla matematica, per sviluppare una nuova prospettiva sul processo d’apprendimento stesso.

Una delle principali lezioni apprese dalla maggior parte delle persone in un’aula di matematica è la sensazione di avere delle rigide limitazioni. Si acquisisce un'immagine di spartizione delle zone di competenza delle conoscenze umane, che sono viste come un mosaico di territori separati da insuperabili cortine di ferro.

Ecco perché mi avvalgo dell’immagine di Matelandia – il paese in cui la matematica sarebbe la lingua naturale – per sviluppare la mia idea che la presenza dell’elaboratore potrebbe avvicinare l’una all’altra le culture umanistiche e matematico-scientifiche. Matelandia, in questo libro, non è che il primo passo in un ragionamento più vasto riguardo a come la presenza dell’elaboratore può cambiare non soltanto la didattica della matematica, ma, in maniera più fondamentale, la concezione della conoscenza e dell’apprendimento.

Il termine « matofobia » mi evoca due associazioni d’idee. Una è la paura diffusa della matematica, paura che spesso ha l’intensità di una vera fobia; l’altra deriva dall’etimologia della radice « math ». In greco designa tutto ciò che è collegato all'apprendimento.

……Una lingua viva si apprende parlando…. Una lingua morta esige, invece, dall’insegnante un costante feed- back. Nella matematica scolastica è l’attività conosciuta come « esercizi » che realizza questo feed-back. Tali assurdi esercizietti ripetitivi non hanno che un merito: sono facili da graduare. Ed è quello che ha assicurato loro una solida posizione al centro della matematica scolastica. In breve, io sostengo che la creazione della matematica in quanto disciplina scolastica è influenzata fortemente da ciò che si riteneva di poter insegnare quando la matematica era insegnata come una disciplina morta, con il solo ausilio di tecnologie rudimentali e passive costituite da bacchette e sabbia, gesso e lavagna, carta e matita. Il risultato è stato un insieme di contenuti privi di coerenza intellettuale, che viola i più elementari principi matetici riguardo a come viene facilitato l’apprendimento di certe materie e reso quasi impossibile quello di altre.

Di fronte a questa eredità scolastica, la formazione matematica può scegliere tra due tipi di approccio.

Il primo, più tradizionale, consiste nell’accettare la matematica scolastica come un’entità data e nel battersi per insegnarla così com’e. Alcuni educatori si servono degli elaboratori con questo scopo. Perciò, paradossalmente, l’uso più diffuso dell’elaboratore nella didattica è quello di somministrare a forza agli allievi i contenuti indigesti ereditati dai tempi preinformatici.

Il secondo tipo di approccio è rappresentato dalla geometria della Tartaruga, nella quale l’elaboratore ha un uso totalmente differente. L’elaboratore vi è adoperato come un mezzo d’espressione matematica, che rende liberi di ideare degli argomenti di matematica destinati ai bambini e che sono caratterizzati da coerenza intellettuale, da un significato riferito alla personalità di ciascuno di essi e da una grande facilità d’apprendimento. Invece di porci il problema pedagogico di « come insegnare la matematica scolastica esistente », noi ci chiediamo come « ricreare la matematica », o più generalmente come ricreare la conoscenza, per rendere meno laborioso il suo insegnamento.

Ogni « elaborazione del curriculo » potrebbe essere descritta come « creazione della conoscenza ». L’introduzione della Nuova Matematica nei programmi degli anni Sessanta, per esempio, è stato un tentativo per cambiare il contenuto della matematica scolastica. Ma non poteva andare lontano. Si ritornò ancora a quei famosi esercizi, benché fossero resi un poco differenti. Il fatto che gli esercizi fossero applicati ad insiemi invece che a numeri, che ci si esercitasse in base due invece che in base dieci non cambiava gran che.

… La geometria della Tartaruga ha avuto lo scopo di adattarsi ai bambini. Il suo primario criterio progettuale era che si potesse farla propria.

Quali sono i principi di questa matematica?

Il primo è il principio della continuità: la matematica deve presentare una continuità con le conoscenze personali ben consolidate……

Il secondo è il principio di potenza: deve permettere a chi apprende di concepire progetti personali carichi di significato, che non avrebbe mai potuto pensare prima.

Il terzo è il principio di risonanza culturale: la materia deve avere senso in un più ampio contesto sociale.

La geometria della Tartaruga è uno stile di geometria diverso dagli altri, come lo stile assiomatico d'Euclide e lo stile analitico di Cartesio erano anch’essi differenti l’uno dall’altro.

Lo stile d’Euclide è logico, quello di Cartesio è algebrico. Lo stile della geometria della Tartaruga è informatico.

Euclide elaborò la sua geometria partendo da un insieme di concetti fondamentali, uno dei quali è il punto. Un punto può definirsi come un’entità che ha una posizione, ma non ha nessun’altra proprietà: non ha colore, né dimensione, né forma. Chiunque non sia mai stato iniziato alla matematica formale (si potrebbe dire che non sia stato ancora matematizzato), spesso trova questa nozione difficile da afferrare, per non dire bizzarra. E' difficile correlarla con qualsiasi altra cosa che si conosca.

Anche la geometria della Tartaruga ha un’entità fondamentale simile al punto d’Euclide. Ma quest’entità che io chiamo « Tartaruga », può essere messa in relazione con altre cose più note, perché contrariamente al punto di Euclide essa non è cosi totalmente sprovvista di proprietà, ed invece di essere statica, è dinamica. Oltre alla sua posizione, la Tartaruga possiede un’altra importante proprietà: ha l’orientamento. Un punto euclideo è situato in un luogo, ha una posizione, e questo è tutto quello che se ne può dire. Una Tartaruga è in qualche luogo, anch’essa ha una posizione, ma in più guarda in una certa direzione, ha un orientamento. In questo senso, la Tartaruga è paragonabile a un essere umano (io sono qui e guardo verso nord) …..I bambini possono identificarsi con la Tartaruga e ricorrere quindi alla conoscenza che hanno del loro corpo e del suo movimento nell'affrontare la geometria formale.

Per comprendere come ciò avviene, dobbiamo conoscere ancora un’altra cosa sulle Tartarughe: esse sono capaci di ricevere ordini espressi in LINGUAGGIO TARTARUGA. Il comando AVANTI fa muovere la Tartaruga in linea retta nella direzione verso la quale è orientata. Per indicarle la distanza da percorrere, AVANTI deve essere seguito da un numero: AVANTI l provocherà un piccolo spostamento, AVANTI l00 uno più ampio, Negli ambienti LOGO, molti bambini sono stati iniziati alla geometria della Tartaruga insegnando loro a manovrare una tartaruga meccanica, un tipo di robot cibernetico che esegue questi ordini quando li si compone su una tastiera da macchina da scrivere. Questa « Tartaruga da pavimento » ha rotelle, una forma a cupola, e una penna che consente di tracciare una linea quando si muove. Ma le sue proprietà essenziali – posizione, orientamento e capacita di obbedire a ordini in LINGUAGGIO TARTARUGA – sono proprio quelle che servono per fare geometria.

Il bambino incontrerà in seguito queste stesse tre proprietà in un’altra personificazione della Tartaruga: una « Tartaruga da schermo ». Questa si presenta sotto forma di un oggetto triangolare su uno schermo televisivo. Anch’essa ha una posizione e un orientamento; anch’essa si sposta secondo gli ordini dati in LINGUAGGIO TARTARUGA. Ciascuna delle tartarughe ha i suoi punti forti: quella da pavimento può essere usata come ruspa oltre che come strumento per disegnare; quella da schermo disegna delle linee dai colori luminosi più in fretta di quanto l’occhio possa seguirle. Nessuna delle due è migliore dell’altra, ma il fatto che siano due porta a un’idea potente: due entità fisiche differenti possono essere matematicamente identiche (o « isomorfe »).’ Gli ordini AVANTI e INDIETRO fanno muovere la Tartaruga in linea retta nella direzione del suo orientamento: la sua posizione cambia, il suo orientamento resta lo stesso. Due altri ordini cambiano l’orientamento senza toccare la posizione: sono DESTRA e SINISTRA che hanno l’effetto di far girare sul posto la Tartaruga. Come per AVANTI, il comando di rotazione deve essere seguito da un numero – l'esplorazione di questi movimenti e l'essere in un posto di comando stimolano le sue abilità e il piacere nel dare ordini. Per far tracciare un quadrato alla Tartaruga dapprima lo percorre lui stesso, descrivendo l’operazione in linguaggio Tartaruga. E così, lavorare con la Tartaruga sollecita anche l’abilità e il gusto del bambino per il movimento.

Ci si avvale delle conoscenze già solidamente acquisite dal bambino in fatto di « geometria-corporea », come punto di partenza per farlo entrare nella geometria formale. Le prime esperienze proposte ai bambini in un ambiente d’apprendimento Tartaruga non hanno l’obiettivo di far acquisire regole formali ma di sviluppare la comprensione del modo in cui essi si muovono nello spazio. Questa comprensione è descritta in LINGUAGGIO TARTARUGA e perciò si traduce in « programmi » o « procedure » o « equazioni differenziali » destinati alla Tartaruga. Vediamo più da vicino come un bambino, che ha già appreso a far muovere la Tartaruga in linea retta, per disegnare dei quadrati, dei triangoli e dei rettangoli, possa imparare a programmarla per tracciare un cerchio. Immaginiamo, dunque, questa scena a cui ho assistito almeno un centinaio di volte.

Un bambino domanda: « Come posso farle fare un cerchio? ». In un ambiente LOGO l’istruttore non fornisce risposte a tali domande, piuttosto suggerisce al bambino un metodo per risolvere non soltanto questo problema, ma altri dello stesso tipo.

Questo metodo è sintetizzato nella frase « gioca alla Tartaruga; prova a metterti al suo posto ». Il bambino è incoraggiato a spostarsi allo stesso modo in cui deve muoversi la Tartaruga sullo schermo per ottenere il tracciato desiderato. Per il bambino che voleva fare un cerchio, l’operazione si può descrivere come segue: « Per muoversi in cerchio si fa un piccolo passo avanti e ci si gira un poco. E si continua così ». Da questa descrizione a un programma Tartaruga formale, c’è solo un passo.

PER CERCHIO RIPETI [AVANTI l DESTRA l]

Un altro bambino, forse meno esperto nei rudimenti della programmazione, o nell’euristica del « gioco della Tartaruga », potrebbe aver bisogno d’aiuto. Ma l’aiuto non consisterà, ancora una volta, nell’insegnare al bambino come programmare un cerchio Tartaruga, bensì nel proporgli un metodo, una procedura euristica. Questo metodo tende a stabilire una solida connessione tra l'attività personale e la creazione di un sapere formale

.... gioca alla Tartaruga. Fallo da te. Lavorando con la Tartaruga si dispone di una fonte quasi inesauribile di « situazioni similari » perché le traiamo dal nostro stesso comportamento, dal nostro stesso corpo. Perciò, quando siamo in difficoltà, possiamo giocare alla Tartaruga. Il consiglio di Polya diventa cosi realizzabile, e la geometria della Tartaruga getta un ponte verso i suoi insegnamenti. Il bambino che ha lavorato a lungo con le Tartarughe si convince profondamente di quanto sia valido « cercare una situazione similare », poiché è una tattica efficace. Dai successi ottenuti deriva la disinvoltura e dunque l’abilità necessaria per riuscire ad applicare il principio in situazioni nelle quali le analogie sono meno evidenti, come la maggior parte di quelle che s’incontrano nella matematica scolastica. Questa disciplina, sebbene elementare nel suo contenuto aritmetico, si rivela relativamente complicata, quando si tratta di applicare i principi di Polya. L’aritmetica è un campo poco adatto per imparare a pensare in modo euristico.

La geometria della Tartaruga è un campo eccellente. Per le sue qualità corposintoniche ed egosintoniche, l’atto di imparare a far disegnare alla Tartaruga dà al bambino un modello di apprendimento molto diverso da quello dissociato di Bill, un bambino al quinto anno di scuola, che così descrive come s’imparano le tabelline: « Una cosa come questa s’impara facendo il vuoto nella testa e ripetendola tante, tante volte, finché non la sai ». Bill ha passato moltissimo tempo a « imparare » le sue tabelline. I risultati furono poveri e ciò, in effetti, dimostra che Bill ha riferito fedelmente i suoi processi mentali nell'imparare. La causa del suo fallimento sta nel fatto che egli si sforzava di non stabilire alcun rapporto con la materia o, piuttosto, aveva adottato il peggior tipo di rapporto, quello dissociativo, come strategia per imparare. I suoi insegnanti pensavano che « avesse una memoria limitata » e avevano persino ipotizzato una lesione cerebrale. Ma Bill conosceva perfettamente molte canzoni popolari e folk, che ricordava senza difficoltà, forse perché nel loro caso era troppo coinvolto per pensare di fare il vuoto nella sua testa. Teorie correnti sulla separazione delle funzioni cerebrali potrebbero suggerire che « la limitata memoria di Bill » fosse specifica per i numeri. Ma il ragazzo ricordava facilmente i numeri di serie, i prezzi e le date di edizione di migliaia di dischi. La differenza tra ciò che egli « poteva » e « non poteva » imparare non dipendeva dal contenuto ma dalla relazione che stabiliva con le conoscenze.

 

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