Galileo Galilei

Pendulums are mentioned in both Galileo's

• Dialogue Concerning the Two Chief World Systems

and his

• Dialogues Concerning Two New Sciences.

In these two works, Galileo discusses some of the major points he discovered about pendulums.

Galileo usò molto il pendolo nei suoi esperimenti.

Inizialmente studiò le caratteristiche dei moti nel pendolo. Successivamente usò queste caratteristiche del pendolo come strumento di misura del tempo nei suoi esperimenti.

Il pendolo è menzionato in queste due opere

• Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo

e

• Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze

Salviati (he is Galileo): .....And here I want you to notice two details which deserve ~ attention.

One is that the vibrations of such a pendulum are made so rigorously according to definite times, that it is quite impossible to make them adopt other periods except by lengthening or shortening the cord. Of this you may readily make sure by experiment, tying a rock to a string and holding the end in your hand. No matter how you try, you can never succeed in making it go back and forth except in one definite time, unless you lengthen or shorten the string; you will see that it is absolutely impossible.

The other particular is truly remarkable; it is that the same pendulum makes its oscillations with the same frequency, or very little different -- almost imperceptibly-- whether these are made through large arcs or very small ones along a given circumference.

I mean that if we remove the pendulum from the perpendicular just one, two, or three degrees, or on the other hand seventy degrees or eighty degrees, or even up to a whole quadrant, it will make its vibrations when it is set free with the same frequency in either case; in the first, where it must move only through an arc of four or six degrees, and in the second where it must pass through an arc of one hundred sixty degrees or more. This is seen more plainly by suspending two equal weights from two threads of equal length, and then removing one just a small distance from the perpendicular and the other one a very long way. Both, when set at liberty, will go back and forth in the same times, one by small arcs and the other by very large ones.

From this follows the solution of a very beautiful problem, which is this:

Given a quarter of a circle shall draw it here in a little diagram on the ground

-- which shall be AB here, vertical to the horizon so that it extends in the plane touching at the point B; take an arc made of a very smooth and polished concave hoop bending along the curvature of the circumference ADB, so that a well-rounded and smooth ball can run freely in it.

Now, say that wherever you place the ball, whether near to or far from the ultimate limit B -- placing it at the point C, or at D, or at E-- and let it go, it will arrive at the point B in equal times (or insensibly different), whether it leaves from C or D or E or from any other point you like; a truly remarkable phenomenon.

Salviati (fa la parte di Galileo): .....E qui voglio che notiate due particolari, degni d'esser saputi.

Uno è, che le vibrazioni di un tal pendolo si fanno con tal necessità sotto tali determinati tempi, che è del tutto impossibile il fargliele far sotto altri tempi, salvo che con allungargli o abbreviargli la corda; del che potete anco di presente con l'esperienza accertarvi, legando un sasso a uno spago e tenendo l'altro capo in mano, tentando se mai, per qualunque artifizio si usi, vi possa succedere di farlo andare in qua ed in là sotto altro che un determinato tempo, fuor che con allungare o scorciar lo spago, che assolutamente vedrete essere impossibile.

L'altro particolare, veramente maraviglioso, è che il medesimo pendolo fa le sue vibrazioni con l'istessa frequenza, o pochissimo e quasi insensibilmente differente, sien elleno fatte per archi grandissimi o per piccolissimi dell'istessa circonferenza.

Dico che se noi rimoveremo il pendolo dal perpendicolo uno, due o tre gradi solamente, o pure lo rimuoveremo 70, 80, ed anco sino a una quarta intera, lasciato in sua libertà farà nell'uno e nell'altro caso le sue vibrazioni con la medesima frequenza tanto le prime, dove ha da muoversi per un arco di 4 o 6 gradi, quanto le seconde, dove ha da passare archi di 160 o più gradi: il che più manifestamente si vedrà con sospender due pesi egùali da due fili egualmente lunghi, rimovendone poi dal perpendicolo uno per piccola distanza e l'altro per grandissima, li quali, posti in libertà, andranno e torneranno sotto gl'istessi tempi, quello per archi assai piccoli, e questo per grandissimi.

Dal che ne séguita la conclusione d'un problema bellissimo: che è che, data una quarta di cerchio (ne segnerò qui in terra un poco di figura),

qual sarebbe questa AB, eretta all'orizonte sì che insista su 'l piano toccando nel punto B, e fatto un arco con una tavola ben pulita e liscia dalla parte concava, piegandola secondo la curvità della circonferenza A D B, sì che una palla ben rotonda e tersa vi possa liberamente scorrer dentro, dico che posta la palla in qualsivoglia luogo, o vicino o lontano dall'infimo termine B, come sarebbe mettendola nel punto C o vero qui in D o in E, e lasciata in libertà, in tempi eguali o insensibilmente differenti arriverà al termine B, partendosi dal C o dal D o dall'E o da qualsivoglia altro luogo: accidente veramente maraviglioso.

Salviati (fa la parte di Galileo):..... Vedremo se da questi nostri pendoli si possa cavare qualche sodisfazione a tutte queste difficoltà. E quanto al primo dubbio, che è, se veramente e puntualissimamente l'istesso pendolo fa tutte le sue vibrazioni, massime, mediocri e minime, sotto tempi precisamente eguali.......

.....sì che volendo, v. g., che 'l tempo d'una vibrazione d'un pendolo sia doppio del tempo d'una vibrazione d'un altro, bisogna che la lunghezza della corda di quello sia quadrupla della lunghezza della corda di questo; ed allora, nel tempo d'una vibrazione di quello, un altro ne farà tre, quando la corda di quello sarà nove volte più lunga dell'altra: dal che ne séguita che le lunghezze delle corde hanno fra di loro la proporzione che hanno i quadrati de' numeri delle vibrazioni che si fanno nel medesimo tempo.

Salviati (he is Galileo):..... Let us see whether we cannot derive from the pendulum a satisfactory solution of all these difficulties. And first, as to the question whether one and the same pendulum really performs its vibrations, large, medium, and small, all in exactly the same time.....

.....As to the times of vibration of bodies suspended by threads of different lengths, they bear to each other the same proportion as the square roots of the lengths of the thread; or one might say the lengths are to each other as the squares of the times; so that if one wishes to make the vibration-time of one pendulum twice that of another, he must make its suspension four times as long. In like manner, if one pendulum has a suspension nine times as long as another, this second pendulum will execute three vibrations during each one of the first; from which it follows that the lengths of the suspending cords bear to each other the [inverse] ratio of the squares of the number of vibrations performed in the same time.